送電線や変電所などの高電圧設備を設計する際、電界分布の解析は欠かせません。しかし、実際の形状は地面や導体が複雑に入り組んでおり、解析が困難です。そこで活躍するのが「等角写像法（Conformal Mapping）」です。本稿では、この手法を用いて送電線の電界をどのように解析するかを、実際の式とともにわかりやすく解説します。
1. 等角写像法とは
等角写像法とは、平面上の図形を角度を保ったまま別の形に変換する数学的手法です。複素関数 w = f(z) を用いて変換することで、形状は変わっても局所的な角度関係が保たれます。この性質を利用して、複雑な形状を解析しやすい形（例えば円や半平面）に変換し、電界や流体などの場の分布を簡単に求めることができます。
2. 送電線の電界解析への応用
たとえば、無限長の円柱状導体が地面の上に設置されている場合を考えます。導体の半径を a、高さを h とし、地面を完全導体平面（接地）とします。このとき、導体と地面の間の電界分布を求めたいのですが、地面の存在により境界条件が複雑になります。ここで等角写像を用いると、導体と地面の組を「同心円状の電極（同軸系）」に変換できます。この変換により、解析は大幅に簡略化されます。
3. 写像の考え方
等角写像によって、地面を円の外側境界、導体を円の内側境界に対応させると、次の関係が成り立ちます。
ln(b’/a’) = arccosh(h/a)
ここで b’ は写像後の外側電極半径、a’ は内側電極半径です。この関係を使うと、電界解析を同軸電極の既知解に置き換えることができます。
4. 電位と静電容量
同軸電極におけるポテンシャル差 V と線電荷密度 λ の関係は次式で表されます。
V = (λ / (2πϵ)) ln(b’/a’)
等角写像の関係を代入すると、
V = (λ / (2πϵ)) arccosh(h/a)
したがって、単位長さあたりの対地静電容量 C’ は、
C’ = λ / V = (2πϵ) / arccosh(h/a)
h >> a の場合、arccosh(h/a) ≒ ln(2h/a) で近似でき、鏡像法の結果と一致します。
5. 導体表面の電界
同軸電極では、内側導体表面の電界 E_s は次の式で表されます。
E_s = V / (a arccosh(h/a))
h >> a の場合、E_s ≒ V / (a ln(2h/a)) となります。
6. 数値例
例として、以下の条件を考えます。
・導体半径 a = 15 mm (0.015 m)
・高さ h = 10 m
・電位 V = 200 kV
・空気の誘電率 ϵ₀ = 8.854×10⁻¹² F/m
arccosh(h/a) = arccosh(666.7) ≈ 7.195
E_s = 200×10³ / (0.015×7.195) ≈ 1.85×10⁶ V/m = 1.85 kV/mm
C’ = (2π×8.854×10⁻¹²) / 7.195 ≈ 7.73 pF/m
7. 結果と考察
この結果から、導体の高さ h が高いほど電界は弱まり、容量は小さくなることが分かります。つまり、送電線設計では導体径を大きくしたり高さを適切に取ることで、コロナ放電のリスクを下げることができます。
また、この解析手法は送電線だけでなく、地中ケーブルや複導体系、さらには変電所内の母線や電極配置の設計にも応用できます。
8. まとめ
等角写像法は、複雑な境界条件を持つ電界解析を単純化する強力な数学的ツールです。送電線の対地電界や容量、表面電界を精度よく求めるうえで、理論的な裏付けを与えてくれます。特に、複素関数論を理解することで、電気設計者はより高度な解析や最適設計が可能になります。
次回は、三相送電線や地中ケーブルなどの多導体系を、等角写像でどのように扱うかを解説する予定です。
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